Pendulum: jaman sarta akselerasi rumus

Sistem mékanis nu diwangun ku hiji titik bahan (awak) nu hangs dina filamén inextensible beurat (massal nyaeta negligible dibandingkeun jeung beurat awak) dina médan gravitasi seragam, disebut pendulum matematik (ngaran séjén - osilator nu). Aya tipe séjén alat. Gantina a rod beurat filamén bisa dipaké. Pendulum tiasa jelas nembongkeun hakekat loba fenomena metot. Nalika vibrations amplitudo leutik gerak na disebut harmonik.

Inpo umum ngeunaan Sistim mékanis

Rumus ti jaman osilasi pendulum ieu jawa Huygens élmuwan Walanda (1629-1695 GG.). Ieu kontemporer di Isaac Newton éta pisan gemar sistem mékanis. Dina 1656 anjeunna nyiptakeun nonton heula ku mékanisme pendulum. Aranjeunna diukur waktos sareng precision ekstrim for jelema jaman. penemuan ieu mangrupa hambalan utama dina ngembangkeun percobaan fisik jeung kagiatan praktis.

Mun pendulum nu aya dina hiji posisi kasatimbangan (nongkrong vertikal), nu gaya gravitasi bakal saimbang ku gaya tegangan benang. Datar pendulum dina yarns non-stretchable nyaéta sistem dua tingkat kabebasan komunikasi. Nalika ngarobah ngan salasahiji komponén ngarobah ciri sadaya bagian na. Contona, upami thread a diganti ku rod, mangka sistem mékanis ieu ngan 1 darajat kabébasan. Naon, teras, sipat hiji pendulum matematik? Dina sistem basajan ieu, dina pangaruh hiji perturbation periodik, rusuh nembongan. Dina kasus eta, lamun titik gantung henteu pindah, sarta oscillates pendulum aya hiji posisi kasatimbangan anyar. Mun fluctuations gancang luhur jeung ka handap Sistim mékanis ieu janten posisi stabil "tibalik ka handap." Ogé boga ngaranna. Mangka disebut Kapitza pendulum.

Sipat pendulum nu

Pendulum miboga sipat pisan metot. Sakabéh éta téh dirojong ku hukum fisik well-dipikawanoh. Periode osilasi tina pendulum sagala séjén gumantung kana rupa kaayaan sapertos ukuran jeung bentuk awak, jarak antara titik gantung jeung puseur gravitasi, sebaran beurat kalawan hormat ka titik ieu. Éta pisan sababna naha di harti periode nongkrong awakna geus rada nangtang. Loba gampang ngitung periode a pendulum basajan, rumusna sahiji nu dibere handap. Salaku hasil tina observasi pola ieu bisa disetel dina sistem mékanis sarupa:

• Mun, bari ngajaga panjangna sarua pendulum nu, ditunda tina rupa-rupa beban, periode osilasi éta meunang sami, sanajan beurat maranéhanana baris greatly rupa-rupa. Akibatna, periode pendulum nu henteu gumantung kana beurat beban.

• Lamun sistem dimimitian turun di pendulum nu teu badag teuing, tapi sudut nu beda, bakal turun naek jeung période sarua, tapi dina amplitudo béda. Bari simpangan ti puseur kasaimbangan teu fluctuations badag teuing di formulir maranéhna bakal cukup nutup harmonik. Periode pendulum saperti henteu gumantung kana amplitudo vibrational. sipat ieu sistem mékanis disebut isochronism (dina Yunani "chronos" - waktos "Izosov" - sarua).

Periode a pendulum basajan

inohong ieu ngagambarkeun jaman alam osilasi. Sanajan rumusan kompleks, anu prosés sorangan basajan pisan. Lamun panjang benang matematik pendulum L, jeung gravitasi akselerasi g, nilai ieu sarua:

T = 2π√L / g

jaman leutik osilasi alam di no way henteu gumantung kana massa pendulum jeung amplitudo osilasi. Dina hal ieu, salaku pendulum matematik ngalir kalayan ngurangan panjangna.

Osilasi tina hiji pendulum matematik

pendulum matematik oscillates, anu bisa digambarkeun ku persamaan diferensial basajan:

x + ω2 dosa x = 0,

dimana x (t) - fungsi kanyahoan (sudut ieu deflection ti posisi handap kasatimbangan wanoh t, ditembongkeun dina radian); ω - konstanta positif nu ditangtukeun ti parameter tina pendulum (ω = √g / L, dimana g - akselerasi gravitasi, sarta L - panjang hiji pendulum basajan (gantung).

Persamaan osilasi leutik deukeut posisi kasatimbangan (harmonik persamaan) saperti kieu:

x + ω2 dosa x = 0

gerak Oscillatory pendulum nu

Pendulum, nu ngajadikeun osilasi leutik, pindah sinusoida. persamaan urutan diferensial Kadua meets sakabeh sarat na parameter gerak misalna hiji. Pikeun nangtukeun jalan nu kudu nangtukeun laju na koordinat, nu engké ditangtukeun konstanta bebas:

x = A dosa (θ ₀ + ωt),

dimana θ ₀ - fase awal, A - amplitudo osilasi, ω - frékuénsi siklik ditangtukeun ti persamaan gerak.

Pendulum (rumus pikeun amplitudo badag)

Sistim mékanis ieu, nedunan osilasi maranéhna ku amplitudo ageung, éta téh tunduk kana hukum lalulintas leuwih kompleks. aranjeunna keur diitung nurutkeun rumus keur pendulum saperti:

dosa x / 2 = u * SN (ωt / u),

dimana SN - sinus Jacobi, anu keur u <1 mangrupakeun fungsi périodik, jeung u leutik eta coincides jeung sinus trigonometri basajan. Nilai u ditangtukeun ku babasan di handap ieu:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

dimana ε = E / mL2 (mL2 - Énergi pendulum nu).

Tekad tina périoda osilasi linier tina pendulum ku rumus:

T = 2π / Ω,

dimana Ω = π / 2 * ω / 2k (u), K - elliptic integral, π - 3,14.

gerakan pendulum of separatrix nu

Ieu disebutna separatrix lintasan tina sistem dinamis, nu hiji spasi fase dua diménsi. Pendulum ngalir dina non-périodik. Dina titik infinitely tebih tina waktos eta pakait tina posisi luhur ekstrim arah laju enol, lajeng eta laun gaining. Anjeunna ahirna dieureunkeun, balik ka posisi aslina.

Mun amplitudo osilasi pendulum nu ngadeukeutan jumlah pi, mangka ngomong yén gerak dina pesawat fase deukeut ka separatrix nu. Dina hal ieu, dina peta ngeunaan kakuatan nyetir periodik leutik tina sistem mékanis némbongkeun kabiasaan kacau.

Dina acara anu pendulum basajan tina posisi kasatimbangan jeung hiji CP sudut lumangsung gaya tangensial Fτ = dosa -mg φ gravitasi. "Majalengka" tanda hartina komponén tangensial diarahkeun dina arah nu lalawanan tina arah simpangan pendulum nu. Lamun ngarujuk via pendulum kapindahan x sapanjang hiji busur sirkular jeung radius L sarua jeung kapindahan φ sudut na = x / L. Kadua hukum Isaaka Nyutona, dirancang pikeun proyéksi ti vektor akselerasi jeung kakuatan masihan nilai nu dipikahoyong:

mg τ = Fτ = -mg dosa x / L

Dumasar babandingan ieu, eta jelas yén pendulum nu mangrupa sistem linier, salaku kakuatan nu condong balik deui kana posisi kasatimbangan anak, teu salawasna sabanding jeung kapindahan x, dosa x / L.

Ngan nalika pendulum matematik ngalaksanakeun vibrations leutik, éta mangrupakeun osilator harmonik. Dina basa sejen, janten sistem mékanis sanggup ngajalankeun harmonik osilasi. pendekatan ieu valid keur ampir sudut 15-20 °. Pendulum kalayan amplitudo badag teu harmonis.

hukum Newton pikeun osilasi leutik pendulum

Lamun sistem mékanis ngalaksanakeun osilasi leutik, hukum 2nd Newton bakal kasampak kawas kieu:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Dina dasar ieu, urang bisa dicindekkeun yén akselerasi tangensial of a pendulum basajan sabanding jeung kapindahan na jeung tanda "dikurangan". Ieu kaayaan whereby sistem janten osilator harmonik. Modul faktor babandingan antara kapindahan sarta akselerasi anu sarua kuadrat tina frékuénsi sudut:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Rumus ieu ngagambarkeun frékuénsi alami osilasi leutik tipe ieu pendulum. Dina dasar ieu,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Itungan dumasar kana hukum konservasi énergi

Sipat osilasi gerakan pendulum bisa digambarkeun kalayan bantuan hukum konservasi énergi. Eta kudu ditanggung dina pikiran nu énergi poténtial pendulum dina hiji médan gravitasi téh:

E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Pinuh énergi mékanis sarua potensi kinétik jeung maksimum: Epmax = Ekmsx = E

Saanggeus ditulis hukum konservasi tanaga, nyokot turunan sisi kénca sarta katuhu tina persamaan:

Ep + Ek = const

Ti turunan tina konstanta sarua jeung 0, mangka (ep + Ek) '= 0. Turunan jumlah nu sarua jumlah turunan:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

kituna:

Mg / L * XV + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.

Dumasar rumus panungtungan, urang manggihan: α = - g / L * x.

aplikasi praktis tina pendulum matematik

Akselerasi tina ragrag bébas variasina kalawan lintang, salasahijina sabab dénsitas nu kulit sabudeureun planét teu idéntik. Dimana batu lumangsung kalawan kapadetan luhur, eta bakal rada luhur. Akselerasi pendulum matematik mindeng dipaké pikeun éksplorasi. Dina pitulung na katingal keur mineral béda. Kantun cacah jumlah osilasi pendulum, kasebut nyaéta dimungkinkeun pikeun ngadetéksi batubara atanapi bijih dina bowels Bumi. Ieu alatan kanyataan yén daya ieu boga dénsitas jeung beurat leuwih ti bohong handapeun batu leupas.

pendulum matematik dipake ku sarjana nonjol kayaning Socrates, Aristoteles, Plato, Plutarch, Archimedes. Loba di antarana dipercaya yén sistem mékanis bisa pangaruh nasib na kahirupan. Archimedes dipaké dina pendulum matematik jeung itungan-Na. Kiwari, loba occultists na psychics make sistem mékanis ieu palaksanaan prophecies na, atanapi milarian leungit jalma.

Astronom Perancis kasohor sarta élmuwan, Flammarion pikeun panalungtikan maranéhanana ogé dipaké hiji pendulum matematik. Manéhna ngaku yén kalawan pitulung na anjeunna bisa ngaduga kapanggihna hiji planét anyar, mecenghulna meteorite Tunguska, sarta kajadian penting lianna. Salila Perang Dunya Kadua di Jerman (Berlin) digawé salaku institut husus pendulum nu. Kiwari, ieu panalungtikan sapertos teu aya Munich Institute of Parapsychology. karyana kalawan pendulum nu staf sahiji lembaga ieu disebut "radiesteziey".