Persamaan tina pesawat: kumaha carana sangkan? Jenis persamaan pesawat

Rohangan pesawat bisa dihartikeun ku cara nu béda (salah titik sarta vektor, vektor jeung dua titik, tilu titik, jsb). Ieu mibanda ieu pikiran, persamaan pesawat tiasa gaduh tipena béda. Ogé dina kaayaan nu tangtu pesawat bisa jadi sajajar, jejeg, intersecting, jsb Dina ieu sareng bakal ngobrol di artikel ieu. Urang bakal diajar ngadamel persamaan umum anu pesawat teu wungkul.

Bentuk normal tina persamaan

Anggap R ngarupakeun rohangan _3, nu boga rectangular a koordinat Sistim xyz. Urang nangtukeun hiji α vektor nu bakal dileupaskeun tina titik awal O. Ngaliwatan ahir α vektor tarik pesawat P nu jejeg eta.

Denote P dina hiji sawenang titik Q = (x, y, z). Radius vektor sahiji titik Q surat tanda p. Panjang vektor sarua α p = IαI na Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

vektor Unit ieu, nu diarahkeun dina arah salaku vektor α. α, β sarta γ - mangrupakeun sudut nu kawangun antara véktor sarta arah positif Ʋ sumbu spasi x, y, z mungguh. Proyéksi ti hiji titik kana vektor QεP Ʋ mangrupakeun konstanta anu sarua jeung p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Persamaan di luhur nyaéta bermakna lamun p = 0. Hijina n pesawat bisi ieu, bakal meuntas titik O (α = 0), nu asal, sarta Unit vektor Ʋ, dileupaskeun tina titik O bakal jejeg P, najan arah na, nu hartina yén Ʋ vektor ditangtukeun nepi ka tanda nu. persamaan saméméhna nyaéta pesawat P urang, ditembongkeun dina formulir vektor. Tapi panempoan koordinat nyaeta:

P nyaéta gede ti atawa sarua jeung 0. Urang geus kapanggih persamaan pesawat di formulir normal.

Persamaan umum

Mun persamaan dina koordinat kalikeun ku sagala angka nu teu sarua jeung nol, urang ménta persamaan sarua jeung ieu nu ngahartikeun pisan pesawat. Bakal ngabogaan wangun kawas kieu:

Di dieu, A, B, C - nyaeta jumlah sakaligus béda ti nol. persamaan ieu disebut persamaan tina bentuk umum tina pesawat.

Persamaan di planes. kasus husus

persamaan tiasa umumna dirobah kalawan kaayaan tambahan. Mertimbangkeun sawatara di antarana.

Nganggap yén koefisien A mangrupa 0. Ieu nunjukkeun yén pesawat sajajar jeung sapi sumbu nu predetermined. Dina hal ieu, wangun persamaan robah: Wu + Cz + D = 0.

Nya kitu, wujud persamaan na bakal rupa-rupa jeung kaayaan di handap:

• Firstly, upami B = 0, perobahan persamaan keur kampak + Cz + D = 0, nu bakal nunjukkeun kana parallelism kana sumbu Oy.
• Bréh, lamun C = 0, persamaan ieu ngajanggélék jadi kampak + Ku + D = 0, éta téh ngomong ngeunaan sajajar jeung sumbu predetermined Oz.
• Katilu, upami D = 0, persamaan bakal némbongan salaku kampak + Ku + Cz = 0, nu bakal hartosna yén pesawat intersects O (asal).
• Kaopat, lamun A = B = 0, perobahan persamaan keur Cz + D = 0, nu bakal ngabuktikeun ka parallelism Oxy.
• Kalima, lamun B = C = 0, persamaan janten kampak + D = 0, nu hartina pesawat anu sajajar jeung Oyz.
• Sixthly, upami A = C = 0, persamaan bentukna Wu + D = 0, i.e., baris ngalaporkeun ka Oxz parallelism.

Bentuk persamaan di bagéan

Bisi nu mana nomer A, B, C, D béda ti enol, wujud persamaan (0) bisa jadi kieu:

x / a + y / b + z / c = 1,

wherein a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Simkuring nampi salaku persamaan hasil tina pesawat dina lembar. Ieu kudu dicatet yén pesawat ieu bakal motong sumbu-x dina titik kalayan koordinat (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), sarta Oz - (0,0, s).

Dibikeun persamaan x / a + y / b + z / c = 1, teu hésé visualize pesawat panempatan relatif ka sistem predetermined koordinat.

Koordinat tina véktor normal

Véktor normal n kana pesawat P boga koordinat anu koefisien tina persamaan umum tina pesawat, i.e. n (A, B, C).

Dina raraga nangtukeun koordinat tina n normal, éta cukup uninga persamaan umum dirumuskeun pesawat.

Lamun ngagunakeun persamaan di bagéan nu boga formulir x / a + y / b + z / c = 1, sakumaha lamun ngagunakeun persamaan umum bisa koordinat tina sagala vektor normal ditulis hiji pesawat dibikeun: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Ieu kudu dicatet yén vektor normal tina nulungan pikeun ngajawab sagala rupa masalah. Masalah paling umum anu diwangun dina planes jejeg atanapi paralel buktina, tugas nyungsi sudut antara planes atawa sudut antara planes jeung garis lempeng.

Ketik dumasar kana kasaruaan pesawat na koordinat tina titik véktor normal

Hiji véktor n nonzero, jejeg ka pesawat dibikeun, disebut normal (normal) ka pesawat predetermined.

Anggap eta dina spasi koordinat (rectangular a koordinat Sistim) Oxyz disetél:

• titik Mₒ kalawan koordinat (hₒ, uₒ, zₒ);
• nol vektor n = A * i + B * j + C * k.

Anjeun kudu nyieun persamaan tina pesawat anu ngaliwatan titik Mₒ jejeg ka n normal.

Dina rohangan kami milih sagala titik sawenang na denote M (x, y, z). Hayu véktor radius unggal titik M (x, y, z) bakal r = x * i + y * j + z * k, sarta vektor radius a Mₒ titik (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Titik M baris milik hiji pesawat dibikeun, lamun MₒM vektor jadi jejeg véktor n. Simkuring nulis kondisi orthogonality ngagunakeun produk skalar:

[MₒM, n] = 0.

Kusabab MₒM = r-rₒ, persamaan vektor tina pesawat bakal kasampak kawas kieu:

[Urang Sunda - rₒ, n] = 0.

persamaan ieu ogé bisa mibanda bentuk sejen. Pikeun tujuan ieu, sipat sahiji produk skalar, sarta dirobah sisi kénca persamaan. [Urang Sunda - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Mun [rₒ, n] dilambangkeun ku s, urang ménta persamaan di handap: [r, n] - a = 0 atawa [r, n] = s, anu expresses nu constancy tina projections dina véktor normal tina radius-vektor sahiji titik nunjukkeun yen milik pesawat.

Ayeuna anjeun bisa meunangkeun koordinat tipe rekaman pesawat persamaan vektor kami [r - rₒ, n] = 0. Kusabab r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, sarta n = A * i + B * j + C * k, urang kudu:

Tétéla yén urang geus persamaan kabentuk pesawat ngaliwatan titik jejeg ka n normal:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Ketik dumasar kana kasaruaan pesawat na koordinat dua titik tina collinear pesawat vektor

Urang nangtukeun dua titik sawenang M '(x', y ', z') jeung M "(x", y ", z"), kitu ogé véktor (a ', hiji ", ‴ a).

Ayeuna urang bisa nulis persamaan predetermined pesawat nu ngaliwatan titik M aya 'na M ", sarta unggal titik jeung M koordinat (x, y, z) sajajar jeung vektor dibikeun.

Kituna vektor M'M x = {x ', y-y'; zz '} jeung M "M = {x" -x', y 'y'; z "-z '} kedah coplanar kalawan vektor a = (a ', hiji ", ‴ a), nu hartina (M'M M" M, a) = 0.

Jadi persamaan urang tina hiji pesawat di spasi bakal kasampak kawas kieu:

Jenis persamaan pesawat, nyebrang tilu titik

Hayu urang nyebutkeun urang gaduh tilu titik: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ miboga ‴, z ‴), anu teu milik garis sarua. Ieu diperlukeun keur nulis persamaan tina pesawat ngaliwatan tilu titik baé. Téori géométri boga pamadegan yén jenis ieu pesawat teu aya, éta ngan hiji tur wungkul. Kusabab pesawat ieu intersects titik (x ', y', z '), formulir persamaan na bakal jadi:

Di dieu, A, B, jeung C anu beda ti enol dina waktos anu sareng. Ogé pesawat dibikeun intersects dua titik leuwih (x ", y", z ") jeung (x ‴, y ‴, z ‴). Dina sambungan ieu kudu dilaksanakeun jenis ieu kaayaan:

Ayeuna urang bisa nyieun sistem seragam tina persamaan (linear) kalawan unknowns u, v, w:

Bisi kami x, y atawa z nangtung titik sawenang nu satisfies persamaan (1). Tempo persamaan (1) jeung sistem Persamaan (2) jeung (3) sistem Persamaan dituduhkeun di inohong di luhur, anu satisfies vektor N (A, B, C) nu nontrivial. Ieu alatan dina determinant tina sistem nyaeta nol.

Persamaan (1) yén urang saena, ieu persamaan tina pesawat. 3 titik manehna bener mana, sarta éta gampang pikeun pariksa. Jang ngalampahkeun ieu, urang rék dilegakeun determinant ku elemen di baris hareup. Tina sipat aya determinant kieu yén pesawat urang sakaligus intersects tilu titik asalna predetermined (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Sangkan mutuskeun pikeun tugas di hareupeun rahayat kami.

sudut Dihedral antara planes

sudut Dihedral mangrupakeun bentuk geometri spasial dibentuk ku dua satengah-planes yén emanate ti garis lempeng. Dina basa sejen, bagian tina spasi nu dugi ka satengah planes.

Anggap urang mibanda dua pesawat jeung persamaan di handap:

Urang terang yén vektor N = (A, B, C) jeung N¹ = (A¹, H¹, S¹) nurutkeun planes predetermined anu jejeg. Dina hal ieu, sudut φ antara vektor N na N¹ sudut sarua jeung (dihedral), anu perenahna antara planes ieu. Produk skalar dirumuskeun ku:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

persis kusabab

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Ieu cukup mertimbangkeun 0≤φ≤π éta.

Sabenerna dua planes nu motong, formulir dua sudut (dihedral): φ ₁ sarta φ _2. Jumlah maranéhanana nyaéta sarua jeung π (φ ₁ + φ ₂ = π). Sedengkeun pikeun cosines maranéhanana, nilai mutlak maranéhanana sarua, tapi aranjeunna tanda béda, nyéta, cos φ ₁ = -cos φ _2. Mun dina persamaan (0) diganti ku A, B jeung C tina -A, -B na -C masing-masing persamaan, urang ménta, baris nangtukeun pesawat sami, hijina sudut φ di cos persamaan φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Ieu bakal diganti ku π-φ.

Persamaan tina pesawat jejeg

Disebut jejeg pesawat, antara nu Manglé nyaeta 90 derajat. Ngagunakeun bahan dibere luhur, urang bisa manggihan persamaan tina pesawat anu jejeg jeung lianna. Anggap urang mibanda dua planes: ax + Ku + Cz + D = 0, sarta + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Urang bisa nyebutkeun yen aranjeunna ortogonal lamun cos = 0. Ieu ngandung harti yén NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Persamaan tina hiji pesawat paralel

Ieu disebut dua planes paralel nu ngandung aya titik di umum.

Kaayaan di planes paralel (persamaan disebut sarua dina paragraf saméméhna) nyaéta yén vektor N na N¹ nu jejeg aranjeunna, collinear. Ieu ngandung harti yén kaayaan handap patepung babandingan:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Lamun istilah sabanding anu dimekarkeun - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

ieu nunjukkeun yén pesawat data nu sarua. Ieu ngandung harti yén persamaan kampak + Ku + Cz + D = 0 sarta + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 ngajelaskeun hiji pesawat.

Jarak ti titik ka pesawat

Anggap urang mibanda hiji pesawat P, anu dirumuskeun ku (0). Ieu diperlukeun pikeun manggihan jarak ti titik éta kalayan koordinat (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Anjeun kudu mawa persamaan di pesawat II penampilan normal sangkan eta:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Dina hal ieu, ρ (x, y, z) ngarupakeun vektor radius titik Q urang, ayana dina n p - n nyaéta panjang jejeg, nu dirilis ti titik enol, v - ngarupakeun vektor Unit nu geus disusun dina arah anu.

Beda ρ-ρº vektor radius a titik Q = (x, y, z), milik n jeung véktor radius a titik nu diberekeun Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) nyaéta véktor sapertos ieu, nilai mutlak proyéksi diantarana dina v sarua jeung d kajauhan, nu perlu pikeun manggihan ti Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) kana P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) | tapi

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Sangkan tétéla,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Ayeuna eta jelas nu keur ngitung jarak d tina ₀ ka Q pesawat P, perlu ngagunakeun normal persamaan view pesawat, anu shift jeung kénca p, sarta tempat ahir x, y, z diganti (hₒ, uₒ, zₒ).

Ku kituna, urang manggihan nilai mutlak ekspresi anu dihasilkeun éta anu diperlukeun d.

Ngagunakeun parameter tina basa, urang meunangkeun atra:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Mun nu dieusian titik Q ₀ nyaeta dina sisi séjén tina pesawat P sakumaha asalna, tuluy antara vektor ρ-ρ ⁰ sarta v nyaéta hiji sudut obtuse, sahingga:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Dina kasus lamun titik Q ₀ ditéang jeung asal lokasina di sisi sarua tina U, sudut akut ieu dijieun, nyaeta:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

hasilna nyaeta dina urut hal (ρ ^0, v)> p, dina kadua (ρ ^0, v)

Sarta persamaan pesawat tangent na

Ngeunaan pesawat ka beungeut di point of tangency Mº - a pesawat ngandung sagala mungkin tangent kana kurva digambar ngaliwatan titik nu aya dina beungeut cai.

Kalawan formulir permukaan ieu persamaan F (x, y, z) = 0 dina persamaan tina titik pesawat tangent tangent Mº (hº, uº, zº) bakal jadi:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Mun beungeut diatur eksplisit z = f (x, y), mangka pesawat tangent digambarkeun ku persamaan:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Parapatan dua planes

Dina rohangan tilu diménsi anu sistem koordinat (rectangular) Oxyz, tinangtu dua planes P 'sarta P' nu tumpang tindih jeung ulah coincide. Kusabab sagala pesawat nu aya dina hiji rectangular Sistim koordinat diartikeun ku persamaan umum, urang nganggap yen n 'sarta n "nu dirumuskeun ku persamaan A'x + V'u S'z + + D' = 0 sarta A" + B x '+ y kalayan "z + D" = 0. Dina hal ieu urang kudu n normal '(A', B ', C') tina pesawat P 'sarta n normal "(A", B ", c") tina pesawat P'. Salaku pesawat urang teu sajajar jeung ulah coincide, teras vektor ieu teu collinear. Ngagunakeun basa matematika, urang kudu kaayaan ieu bisa ditulis salaku: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * Sarta", λ * Dina ", λ * C"), λεR. Anggap garis lempeng anu perenahna di simpang P 'sarta P ", bakal dilambangkeun ku hurup a, dina hal ieu hiji = P' ∩ P".

jeung - a garis nu diwangun ku hiji pluralitas titik (umum) planes P 'sarta P ". Ieu ngandung harti yén koordinat tina sagala titik milik garis a, kudu sakaligus nyugemakeun persamaan A'x + V'u S'z + + D '= 0 sarta A "x + B' + C y" z + D "= 0. Ieu ngandung harti yén koordinat tina titik bakal jadi solusi sabagean tina persamaan di handap:

hasilna nyaeta yén solusi (sakabéh) tina sistem ieu persamaan bakal nangtukeun koordinat unggal titik dina garis nu bakal meta salaku titik simpang P 'sarta P ", jeung nangtukeun hiji garis dina hiji sistem koordinat Oxyz (rectangular) spasi.