Transformasi Fourier. Gancang transformasi Fourier. Fourier Diskrit transformasi

transformasi Fourier - transformasi, associating fungsi nu tangtu tina variabel nyata. Operasi ieu dipigawé unggal waktu urang ngarasa sora béda. Ceuli ngahasilkeun otomatis "itungan", nu minuhan eling urang tiasa ngan sanggeus ujian ti bagian matematika luhur. dédéngéan organ dina transformasi manusa constructs, nu sora (gerak vibrational konvensional partikel dina medium elastis, nu propagate dina formulir gelombang dina medium padet, cair atawa gas) anu disadiakeun dina lingkup nilai padeukeut ti tingkat volume nada sahiji varying jangkung. Sanggeus ieu, uteuk robah informasi kana sagala sora akrab.

Matematik transformasi Fourier

Konversi gelombang sora atawa prosés séjénna Geter (ku émisi lampu na sagara pasang jeung ka siklus stellar atawa solar) bisa dipigawé na ku cara maké padika matematik. Ku kituna, maké téhnik ieu, fungsi bisa dimekarkeun ku ngawanohkeun prosés vibrational diatur komponén sinusoida, i.e. ngagambarkeun kurva wavy nu balik ti minimum pikeun maksimum hiji lajeng deui ka minimum a, kawas gelombang laut. transformasi Fourier - fungsi transformasi nu ngajelaskeun fase atawa amplitudo unggal sinusoida pakait ka frékuénsi tinangtu. Fase mangrupakeun titik awal tina kurva, sarta amplitudo - tina jangkungna na.

transformasi Fourier (conto nu ditémbongkeun dina poto) mangrupakeun alat anu pohara kuat, nu geus dipaké di sagala rupa widang élmu. Dina sababaraha kasus, mangka dipake salaku solusi persamaan rada pajeulit nu nerangkeun proses dinamis kajadian dina pangaruh lampu, panas atawa énergi listrik. Dina kasus séjén, éta ngidinan Anjeun pikeun nangtukeun komponen nu biasa di gelombang kompléks, alatan ieu tiasa leres mun naksir rupa observasi eksperimen dina kimia, ubar na astronomi.

inpo sajarah

Baé heula panawaran metoda ieu anu matematikawan Perancis Zhan Batist Fure. Konversi, salajengna dingaranan ti namina, asalna dipaké pikeun ngajelaskeun mékanisme konduksi panas. Fourier sakabéh kahirupan sawawa na aktipitas diajar sipat panas. Manehna nyieun hiji kontribusi pisan kana teori matematika tina tekad tina akar aljabar persamaan. Fourier éta profesor analisis di École Polytechnique, Sekretaris tina Institute of Egyptology, ieu layanan kaisar, anu disababkeun aduk a dina waktu pangwangunan jalan ka bekasi (sahandapeun kapamimpinan nya éta lemes leuwih ti 80 sarébu kilométer pasagi di ranca malarial). Najan kitu, sagala activism ieu henteu ngeureunkeun élmuwan dina aktipitas analisis matematik. Dina 1802 ieu diturunkeun hiji persamaan anu ngajelaskeun rambatan panas di padet. Dina 1807, élmuwan manggihan metoda pikeun ngarengsekeun persamaan ieu, nu jadi katelah "transformasi Fourier".

Analisis konduktivitas termal

Peneliti dipake metoda matematik pikeun ngajelaskeun mékanisme konduksi panas. Hiji conto merenah, wherein euweuh kasusah dina ngitung teh rambatan énergi termal ku hiji cingcin beusi, hiji bagian immersed dina seuneu a. Pikeun ngalakonan percobaan Fourier panas bagéan beureum tina ring na ngubur anjeunna dina keusik rupa. Saterusna, ukuran suhu dilumangsungkeun dina bagian sabalikna tujuanana. Dina awalna, sebaran panas nyaéta teratur: bagian tina ring - tiis, sarta séjén - panas, antara zona bisa niténan hiji gradién suhu seukeut. Sanajan kitu, dina mangsa distribusi panas sakuliah beungeut logam, janten langkung seragam. Ku kituna, geura-giru, proses ieu bentukna hiji gelombang sinus. grafik mimiti laun naek na oge nurun lancar, akurat hukum variasi tina kosinus atawa fungsi sinus. Gelombang laun equalized tur salaku hasilna hawa janten seragam dina sakabéh beungeut ring.

Panulis metoda ieu dianggap yen sebaran awal anu cukup teratur bisa decomposed kana jumlah gelombang sinus dasar. Tiap di antarana kudu fase (posisi awal) jeung suhu maximumna. Kituna tiap parobahan komponén sapertos ti minimum pikeun maksimum sarta deui ngalengkepan revolusi sabudeureun kali integer cingcin. Komponén gaduh jaman nu disebut harmonik fundamental, sarta nilai sareng dua atanapi leuwih perioda - nu kadua jeung saterusna. Contona, hiji fungsi matematik nu ngajelaskeun suhu maksimum, fase atawa posisi disebut transformasi Fourier tina fungsi sebaran. Élmuwan dibawa komponén tunggal nu hese pedaran matematik, keur parabot gampang-to-pamakéan - jajar sinus jeung kosinus, dina jumlah méré sebaran awal.

Hakekat analisis

Nerapkeun analisis ieu konversi sebaran panas kana objek padet, ngabogaan hiji bentukna annular, matematikawan a reasoned yén perioda ngaronjatkeun komponén sinusoida ngakibatkeun damping gancang na. Ieu jelas katempo dina harmonik utama jeung kadua. Suhu final ngahontal dua kalieun nilai maksimum sarta minimum dina pass tunggal, sarta dina mimitina - hijina sakali. Tétéla yén jarak ngumbara ku panas dina harmonik kadua satengah yen inti. Sajaba ti éta, gradién tina satengah detik oge bakal steeper tibatan aturan kahiji. Kituna, saprak hiji fluks termal beuki sengit pas randa jarak minimal, teras ieu bakal damped harmonik opat kali leuwih gancang batan utama, salaku fungsi tina waktu. Dina prosés di handap bakal malah gancang. Matematikawan dipercaya yén metoda ieu ngamungkinkeun urang keur ngitung prosés sebaran awal suhu kalawan waktu.

contemporaries panggero

Transformasi Fourier algoritma geus jadi tantangan jeung yayasan teoritis matematik dina waktu éta. Dina mimiti abad ke, paling élmuwan nonjol, kaasup Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre na Biot teu nampa Cindekna na yén suhu sebaran awal ieu decomposed kana komponén dina bentuk gelombang fundamental jeung frékuénsi luhur. Sanajan kitu, Akademi Élmu teu bisa malire hasil diala matematikawan, sarta dileler anjeunna Hadiah pikeun téori konduksi panas ti hukum, kitu ogé ngalakonan ngabandingkeun na kalawan percobaan fisik. Dina pendekatan Fourier, anu bantahan utama kanyataan yén hiji fungsi discontinuous ieu digambarkeun ku jumlah sababaraha fungsi sinusoida, nu mangrupakeun kontinyu. Barina ogé, maranéhna nerangkeun garis bursting lempeng jeung melengkung. élmuwan kontemporer sempet pernah encountered kaayaan sapertos, nalika fungsi discontinuous digambarkeun ku kombinasi kontinyu, kayaning kuadrat, linier, sinus atawa exhibitor. Dina acara anu matematikawan hiji éta katuhu dina assertions Na, jumlah hiji runtuyan wates fungsi trigonometri kudu dugi ka speed pasti. Bari ngaku kitu seemed absurd. Sanajan kitu, sanajan nu mamang tina sababaraha peneliti (misalna Claude Navier, Sofi Zhermen) broadened ruang lingkup panalungtikan sarta dibawa aranjeunna kaluar ti analisis distribusi panas. A matematik, Samentara éta, terus sangsara sual naha a jumlah sababaraha fungsi sinusoida diréduksi jadi hiji pawakilan pasti tina bursting.

sajarah 200 taun

Téori ieu ngalobaan leuwih dua abad, dinten eta tungtungna ngawangun. Kalayan bantuan fungsi spasial atanapi temporal anu pecah jadi komponén sinusoida nu boga frékuénsi, fase jeung amplitudo. konvérsi ieu diala ku dua métode matematik béda. Kahiji di antarana dipaké dina kasus lamun sumber mangrupa fungsi kontinyu, sarta kadua - dina kasus dimana eta dilambangkeun ku pluralitas parobahan individu diskrit. Mun babasan ieu dicandak ti nilai, nu dihartikeun dina interval diskrit, bisa dibagi kana sababaraha diskrit frékuénsi sinusoida ungkapan - ti panghandapna lajeng dua kali, tripled, jeung saterusna luhureun fundamental. Jumlah ieu disebut dérét Fourier. Mun babasan awal susunan nilai unggal real number, bisa direcah jadi sababaraha sinusoida sakabeh frekuensi mungkin. Mangka disebut Fourier integral, sarta kaputusan ngakibatkeun hiji transformasi ti fungsi integral. Paduli metoda pikeun meunangkeun transformasi, pikeun tiap frékuénsi kedah nunjukkeun dua nomer: amplitudo jeung frékuénsi. nilai ieu aya dikedalkeun salaku tunggal angka kompléks. Éksprési variabel kompléks Téori bareng jeung transformasi Fourier pikeun ngalakukeun itungan diwenangkeun desain rupa sirkuit listrik, analisis vibrations mékanis, ulikan ngeunaan mékanisme rambatan gelombang sarta séjén.

Transformasi Fourier kiwari

Kiwari, ulikan ngeunaan proses ieu dasarna bisul handap pikeun nyungsi métode mujarab pikeun transisi tina fungsi pikeun ngarobah éta deui pikiran. Leyuran ieu disebut transformasi Fourier langsung sarta kabalikan. Naon eta hartosna? Dina raraga nangtukeun integral sarta nyieun transformasi Fourier langsung, anjeun tiasa nganggo metodeu matematik, tapi anjeun bisa analytic. Najan kanyataan yén basa aranjeunna keur dipake dina praktekna aya sababaraha kasusah, paling integrals geus kapanggih tur diasupkeun dina handbooks matematik. Kalawan ungkapan bantuan metoda numeris bisa diitung, bentuk diantarana anu dumasar kana data eksperimen, hiji fungsi anu integrals dina tabel nu leungit, tur aranjeunna hésé ngabayangkeun dina formulir analitik.

Méméh Advent itungan rékayasa komputer transformasi misalna geus pisan tedious, maranehna menta palaksanaan manual angka nu gede ngarupakeun operasi arithmetic anu gumantung kana jumlah titik nu nerangkeun fungsi gelombang. Pikeun mempermudah pakampungan dinten, aya program husus, diwenangkeun pikeun nerapkeun anyar métode analitis. Ku kituna, dina taun 1965, Dzheyms Kuli na Dzhon Tyuki dijieun software nu janten katelah "Fast transformasi Fourier". Ieu ngaheéat waktu itungan ku cara ngurangan jumlah perkalian dina analisis kurva. "Fast transformasi Fourier" metoda ieu dumasar kana ngabagi kurva kana angka nu gede ngarupakeun nilai sampel seragam. Sasuai, jumlah perkalian diréduksi ku satengah di sami ngurangan jumlah titik.

Nerapkeun transformasi Fourier

prosés ieu dipaké dina sagala widang: Dina téori angka, fisika, pamrosésan sinyal, kombinatorika, tiori probabiliti, kriptografi, statistik, Géokimia, élmu optik, akustika, sarta geometries lianna. kemungkinan euyeub pikeun pamakéan na anu dumasar kana sababaraha fitur mangpaat nu disebut "sipat transformasi Fourier." Hayu urang nalungtik éta.

1. Fungsi konversi mangrupakeun operator liniér sarta normalisasi saluyu mangrupa kahijian. sipat ieu dipikawanoh salaku teorema Parseval, atawa dina hal umum, central Plansherelja atanapi Pontrjagin dualisme.

2. konvérsi ieu malik. Sumawona hasil sabalikna nyaeta bentuk substansi sarupa sakumaha dina langsung alamat.

3. ungkapan dasar sinusoida nyaéta fungsi differentiated sorangan. Ieu ngandung harti yén ngagambarkeun sapertos robah persamaan liniér jeung koéfisién konstan dina aljabar konvensional.

4. Dumasar kana "konvolusi" theorem, prosés ngajadikeun operasi kompléks di multiplication dasar.

5. Diskrit transformasi Fourier bisa gancang dirancang dina komputer maké metodeu "gancang".

Variasi Fourier transform

1. Paling sering istilah nu digunakeun keur ngarujuk ka transformasi kontinyu, nyadiakeun sagala ekspresi quadratically integrasi salaku jumlah ekspresi eksponensial kompléks nu mibanda frékuénsi sudut husus sarta amplitudo. Spésiés ieu mibanda sababaraha bentuk béda, nu bisa jadi koefisien konstan béda. Metodeu kontinyu ngawengku hiji méja konversi, nu bisa kapanggih dina handbooks matematik. Hiji hal digeneralisasi nyaeta konversi fractional, whereby proses ieu bisa diangkat kana daya nyata nu dipikahoyong.

2. Metodeu kontinyu mangrupakeun generalisasi tina téknik saméméhna tina dérét Fourier ditetepkeun pikeun sagala fungsi périodik atawa ungkapan, nu aya di wewengkon kawates sarta ngagambarkeun aranjeunna salaku runtuyan sinusoids.

3. Diskrit transformasi Fourier. Metoda ieu dipake dina komputasi keur ngitung ilmiah sarta pamrosésan sinyal digital. Pikeun ngalaksanakeun tipe ieu itungan anu diperlukeun pikeun boga fungsi di nangtukeun dina set diskrit titik individu, wilayah periodik atawa kawates tinimbang integrals Fourier kontinyu. konvérsi sinyal bisi ieu digambarkeun salaku jumlah sinusoids. Pamakéan metoda "gancang" ngamungkinkeun pamakéan solusi digital pikeun sakabeh kaperluan praktis.

4. jandela transformasi Fourier mangrupakeun view generalized sahiji metoda Palasik. Teu kawas solusi baku lamun spéktrum sinyal geus dipaké, anu dicokot dina rentang pinuh ku ayana variabel ieu dipikaresep tinangtu dieu téh mung Sebaran frekuensi lokal bari ngajaga variabel aslina (waktu).

5. The Fourier dua diménsi transformasi. Metoda ieu dipake pikeun digawe sareng dua diménsi arrays data. Bisi sapertos ieu, artos anu dipigawé dina hiji arah, sarta lajeng - di lianna.

kacindekan

Dinten, metoda Fourier anu pageuh entrenched dina sagala widang elmu pangaweruh. Contona, taun 1962 eta dibuka bentuk DNA héliks ganda migunakeun analisis Fourier ditéang jeung difraksi sinar-X. kristal panganyarna fokus kana serat DNA, hasilna hiji gambar nu geus ditangtukeun ku difraksi, dirékam kana film. gambar ieu masihan informasi ngeunaan nilai amplitudo ku ngagunakeun transformasi Fourier kana struktur kristal ieu. data fase diala ku ngabandingkeun kartu difraksi DNA jeung kartu nu dicandak dina nganalisis struktur kimiawi nu sarupa. Hasilna, biologi disimpen struktur kristal - fungsi aslina.

Transformasi Fourier maénkeun peran badag dina studi luar angkasa, anu Fisika bahan semikonduktor sarta plasma, akustika microwave, Géokimia, radar, Matématis sarta pamariksaan médis.